最近在学习流体仿真部分，主要是GAMES103相关部分。这篇文章作为学习 Shallow Wave 内容的总结和作业4的展示。
算法背景
Shallow wave 模型用于模拟水池中涟漪、湖面波动。模型把浅水想象成一个有弹性的水面网格，离散化后存储在二维数组中，每个格子只记录当前时刻和前一时刻的高度，并根据这些高度信息计算出新的高度。
更详细的说，对于每个点 $\mathbf{p_i}$ ，模型用当前点的高度信息 $h_i$ 和历史高度 $old\_h_j$，和邻居点 $\mathbf{p_j}$ 的高度信息 $h_j$ 计算得到 $new\_h_i$ ，进行和刚体的交互更新，最终应用到网格。
实验环境
本实验在unity环境下进行仿真，使用c#编写脚本。课程框架由GAMES103课程官网给出。
实验内容
获取 $h_{ij}$
算法将三维的水面抽象成二维的网格，关于网格中的每个点，我们最关注他的高度信息$h_{ij}$。
在框架代码中，提供了一维数组X存储网格高度，为了方便计算，我们需要定义二维数组h[i, j]，并在每次 Update 中将 X 中的值载入 h，处理后再返还到 X。
根据X的初始化代码：
1 | for (int i=0; i<size; i++) |
可以看到 X 坐标的处理方式，我们只需要照葫芦画瓢即可进行 h 数组的读取：
1 | // Load X.y into h. |
生成随机水花
为了体现算法效果，我们需要提供一个方法对水面产生随机扰动，具体方法是在某随机一位置生成随机高度的液体。
为了保证水的总质量不变，我们需要在邻居处减去总共相同高度的水。
具体实现:
1 | if (Input.GetKeyDown ("r")) |
里面有一个细节，为了防止数组越界，我把 i 和 j 的位置限制在了$[1, size - 2]$，这样邻居的位置就限定在了 $[0, size-1]$ ，正好避免了越界问题。dx 和 dy 是我定义的方向数组，增强访问邻居部分代码的可读性。
更新网格节点坐标
先跳过具体的算法部分。假设我们已经完成了h[i, j] 的计算，下一步要做的就是用其中的值更新X，并将X作为新的网格的mesh.vertices，并重新计算法线：
1 | // Store h back into X.y and recalculate normal. |
Shallow Wave 模型
完成了上面部分的工作，我们对Shallow_Wave(float[,] old_h, float[,] h, float [,] new_h)函数的要实现的结果已经比较清楚：计算new_h，用 h 和 new_h 更新 old_h。
计算 new_h
二维波动方程：
$$
\frac{\partial^2h}{\partial t^2} = c^2\nabla^2h
$$
对时间二阶导数进行中心差分：
$$
\frac{\partial^2h}{\partial t^2} = \frac{h^{n+1} - 2h^n + h^{n-1}}{\Delta t^2}
$$
代入：
$$
\frac{h^{n+1} - 2h^n + h^{n-1}}{\Delta t^2} = c^2\nabla^2h^n
$$
整理得到
$$
h^{n+1} = 2h^n - h^{n-1} + c^2\Delta t^2 \nabla^2 h^n
$$
即
$$
h^{n+1} = h^n + (h^n - h^{n-1}) + c^2\Delta t^2 \nabla^2 h^n
$$
由于我们并不希望算法在一次处理后将高度恢复到理想位置，而是希望产生类似涟漪的效果，所以我们添加了阻尼系数damping。同时，我们把常数 $(\frac{c\Delta t}{\Delta x})^2$ 记作 rate ，得到程序中的代码：
1 | new_h[i, j] = h[i, j] + damping * (h[i, j] - old_h[i, j]) + rate * laplacian; |
由于我的物理功底较差，我并不完全理解这些数学公式。但从直观上看：
h[i, j]为上一时刻速度；damping * (h[i, j] - old_h[i, j])可以看做一个惯性项，同时这个惯性随着阻力削减；rate * laplacian为邻居对当前位置高度的影响。
由于damping和 rate都由程序框架给出，尽管我只有一个直观的感受而没有数学上的理解，我也可以做出比较理想的效果。
其中laplacian为邻居高度之和减去邻居数量乘当前高度。一般来说，邻居数量为四。对于边界处，程序使用Neumann边界条件，认为边界内外高度相同。
1 | // Step 1: |
Block -> Water coupling
Unity场景中有两个刚体立方体，程序需要考虑方块对水的影响。
首先，两个BoxCollider可以存在一个数组中方便访问，用GameObject.Find("Cube").GetComponent<BoxCollider>()获取。用unity BoxCollider类自带的bounds属性，可以得到立方体影响到的水面范围，这个范围可以参考 Start() 中 X的初始化代码进行坐标变换。得到影响范围可以用它更新cg_mask，方便后续进行求解。
水面高度会被立方体的底部位置限制，对立方体影响到的每一个网格，设其low_h = bound.min.y，表示其水面高度被限制。据此，我们可以计算当前格子需要的高度修正量
$$
b = \frac{new\_h_{i,j} - low\_h_{i, j}}{rate}
$$
需要除以rate是因为在水面更新时会乘一次rate，这里提前除以rate进行抵消。
为了让液体按照我们的预想移动，我们可以为其添加一层“虚拟高度” $vh$ 。
参考前面的公式和代码，最终的水面修正量：
$$
\Delta h = rate \times \nabla_d^2vh = low_h - new_h
$$
两边除以 rate：
$$
\nabla^2_dvh = - \frac{new_h - low_h}{rate} = -b
$$
令$A = -\nabla_d^2$ ，得到$Avh = b$，即Poisson eqiation的离散形式，可以用CG求解器求解vh。
在得到vh后，我们同样不希望水面高度在一瞬间内完成变化，因此在高度修正时添加了一个系数gamma。
1 | // Step 2: Block->Water coupling |
更新高度
在得到new_h后，old_h和h的修改就很简单明了了。
1 | // Step 3 |
TODO: Water->Block coupling
作为作业的bonus部分，要求考虑水面对刚体方块的影响，目前我还没有进行实现。
实验结果
程序没有报错，Unity成功运行，可以用鼠标拖动方块产生涟漪，同样可以点按r键产生水花。
之后的工作
GAMES103的流体部分已经学完，打算之后一段时间继续学习流体有关内容。Bonus部分作业也会早日完成。
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